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引导“中等生”有序地思考“问题的本质”


发布时间:2007年2月26日 15时10分


 
四川 秦风万里

  关于"问题的本质",我的理解,是指问题的性质及此问题与其他问题的内部联系,是问题比较深刻和比较稳定的方面。它与关于客观事物(问题本身)的规律性是同等程度的概念,是要面对的关键、要害,只有抓住了问题的本质,才能正确区分辨别和选择与决策。例如,在中学,函数的本质,可以认为是两个非空数集上的一个对应法则!
  
  在教学中,我发现,一部分中等生学习效果欠佳,一次次冲击都不能如愿,甚至倒退,最终使他们彻底丧失了信心,把一切失败的根源都归结为一个字:笨。其实,这是一个错误的归因,不少时候,是由于他们缺乏“有序地思考问题本质”的思维习惯的结果。中等生学习往往看不清所学习的问题的本质,当然很难正确的解决问题,这正是他们学习的困惑。

  那么,如何引导中等生“有序地思考问题本质”呢?回答这一问题,还得从对具体问题本身的研究入手。例如,教学中的一个具体问题:
  [问题]求F(x)=(sinx-1)/(cosx-2)的最大值与最小值.
  面对题目,我们如何引导学生“有序地思考问题本质”呢?

  1.有序地思考的第一步:提取信息,瞄准目标。

  我们首先得读题,弄清我们面对的是这是一个什么问题,要我们干什么?仔细读题后,啊,原来是要求F(x)最大值与最小值。这样我们思考问题和解决问题就有了目标。不少中等生同学就吃亏在,搞了半天,还不知道我们要解决的问题究竟是什么,没有目标,结果下笔千言,离题万里。

  2. 有序地思考的第二步:观察联想,盘点家底。

  从结论联想,求F(x)最大值与最小值我们有哪些方法呢?可能回忆起二次函数的最值,三角函数y=Asin(wx+a)的最值,均值不等式,单调性法,换元转化法,配方法,判别式法,数形结合法,导数法…等。
  
  从条件盘点,得弄清问题中已经具备了哪些条件,已知什么,哪些是有用的信息,哪些是干扰信息,这些现象有些什么本质联系。那么我们看看,这个问题中,是个函数式,右边是个分式,分子分母都是两数的差、含有sinx、cosx。有的同学从函数式出发,联想到等式,考虑方程的思想,可以同乘以分母,移项等;有的同学从分式的分子分母都是两数的差,联想到直线的斜率公式y=(y2-y1)/(x2-x1),而(x2,y2)=(cosx,sinx)可以看作单位圆x^2+y^2=1上的点;由圆想到数形结合;又由三角函数联想到正、余弦函数的有界性等…

  3. 有序地思考的第三步:关联利用,择决途径。

  通过以上两步的思考,那么,家底里哪些方法与我们的条件相关联呢?也就是哪些条件可以合理地为我所用呢?这就有个知识的整合、信息的内化过程,也是一个不断尝试的过程。在上面的基础上,我们就可能尝试出以下解决问题的途径:
  途径一:有ycosx-sinx=2y-1,化为一个函数,由正弦函数的有界性可以求出y的范围.
  
  途径二:把F(x) 看作过两点P(-2+cosx,-1+sinx) 与原点(0. 0)连线的斜率.P点的轨迹是圆心为(-2,-1),半径为1的圆.设过(0,0)的直线为:y=kx.则圆心到直线;y=kx的距离小于等于半径1.由此得k大于等于0小于等于4/3.

  途径三:联想过两点的斜率公式,把F(x) 看作过两点P(-2+cosx,-1+sinx) 与原点(0. 0)连线的斜率.P点的轨迹是圆心为(-2,-1),半径为1的圆.设过(0,0)的直线为:y=kx.联立圆(x+2)2+(y+1)2=1与y=kx.消去y,得关于 x的一元二次方程,判别式大于等于0,得k的范围.

  途径四:把把F(x) 看作过两点P(cosx,sinx) 与点A(2.1)连线的斜率,同思考二求解.

  途径五:把把F(x) 看作过两点P(cosx,sinx) 与点A(2.1)连线的斜率,同思考三求解.

  4. 有序地思考的第四步:鉴别优劣,规范表述。

  一题多解,有利于培养学生的发散思维.但我们要引导中等生从多种解法中比较出方法的优劣。方法本身没有好坏,但在具体题目中有运算繁简之分,思维上有难易之别,书写上有长短之分,不同的同学,元认知起点不同,选择也不一样,但我们要学会去选择 。

  话说规范、简洁的表达,是训练学生习惯严谨,把想法落到实处,升华思维的必要要求。我的一些中等生同学,说懂了,只是他自己的认为,但实际还不是我要求的那个懂了,中间还有一定的距离;虽说是懂了,但与能说出来是两回事;虽能说出来了,但与能正确写出来也是两回事。因此,有序地思考,必须经历鉴别优劣,规范表述。

  5. 有序地思考的第五步:变更背景,发散聚合。

  一题多解,有利于挖掘题目信息,联贯所学知识,培养学生发散思维;改变问题背景,多题一解,建模归类,有利于培养学生的收敛思维.从而加深学生对数学知识的深刻理解,更重要的是它扩大了学生的 认知空间,激发学生创造灵感,培养学生的创新欲望,训练学生思维的变通和求异性。

  我们把本题变为: 若圆C:(x-3)2+(y-3)2=1.
  (1)求x+2y-1的范围.
  (2)求xy的最大值与最小值.
  (3)求y/x的最大值与最小值.
  (4)求x^2+y^2的最大值与最小值.
  (5)若A(1,0),B(-1,0),点P 在圆C上,求d=|AP|2+|BP|2的最大(小)值.
  (6)若 点C在 圆C上,求三角形 ABC的面积的最大值与最小值.

  经历以上五步有序思考,我们可以看到本文中问题的本质是求函数F(x)=(sinx-1)/(cosx-2)的最值和此问题与其他相关知识(问题)的内部联系。长期坚持这样的有序思考,我们相信可以引导“中等生”走出只会依样画瓢、稍换一下就不只如何下笔的“描红”式学习困境的。



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